Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs réelles. On note ses termes u₀, u₁, u₂, …, uₙ.
Il existe deux grandes façons de définir une suite :
On exprime directement uₙ en fonction de n. Exemple : uₙ = 3n + 1. On peut calculer n'importe quel terme sans connaître le précédent.
On donne un premier terme u₀ (ou u₁) et une relation qui exprime uₙ₊₁ en fonction de uₙ. Exemple : u₀ = 2, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1.
Une suite est arithmétique de raison r si chaque terme s'obtient en ajoutant r au précédent : uₙ₊₁ = uₙ + r.
Soit (uₙ) arithmétique avec u₁ = 5 et r = 3. Alors u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. La somme u₁ + … + u₁₀ = 10 × (5 + 32) / 2 = 185.
Une suite est géométrique de raison q (≠ 0) si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par q : uₙ₊₁ = q × uₙ.
Ne pas confondre le rang de départ (u₀ ou u₁) dans la formule du terme général. Vérifier toujours avec un terme connu avant de conclure.
Pour étudier le sens de variation d'une suite, on calcule uₙ₊₁ − uₙ (ou le quotient uₙ₊₁/uₙ pour une suite strictement positive) :
Si uₙ₊₁ − uₙ > 0 pour tout n, la suite est croissante.
Si uₙ₊₁ − uₙ < 0 pour tout n, la suite est décroissante.
Si uₙ₊₁ − uₙ = 0 pour tout n, la suite est constante.
Soit uₙ = n² − n. Alors uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)² − (n+1) − n² + n = 2n. Pour n ≥ 1, 2n > 0 donc la suite est croissante à partir du rang 1.
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀. Il se déroule en trois étapes obligatoires :
1. Initialisation : vérifier que P(n₀) est vraie.
2. Hérédité : supposer que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) et démontrer que P(n+1) est vraie.
3. Conclusion : conclure que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Ne pas oublier l'étape d'initialisation. Une hérédité sans initialisation ne prouve rien.
Une suite (uₙ) converge vers ℓ si uₙ se rapproche de ℓ quand n tend vers +∞. On note : lim uₙ = ℓ.
Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ pour tout n, et si lim vₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim uₙ = ℓ.