Première — Spécialité Maths

Suites numériques — Introduction

📈 Chapitre 1⏱ 8 min🎯 Prépa Terminale

1. Définitions

Deux façons de définir une suite

Terme général : uₙ exprimé directement en fonction de n. Exemple : uₙ = 3n + 2.
Récurrence : on donne u₀ (ou u₁) et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ). Exemple : u₀ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ + 1.

2. Suites arithmétiques

Définition

Suite de raison r si uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n. La différence entre deux termes consécutifs est constante.

Formules

uₙ = u₀ + n·r ou uₙ = u₁ + (n−1)·r
Somme des premiers termes : Sₙ = n · (u₁ + uₙ)/2

Exemple

u₁ = 7, r = −3. Alors u₅ = 7 + 4×(−3) = −5. La suite est décroissante (r < 0).

3. Suites géométriques

Définition

Suite de raison q (q ≠ 0) si uₙ₊₁ = q·uₙ pour tout n. Le rapport entre deux termes consécutifs est constant.

Formules

uₙ = u₀ · qⁿ ou uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹
Somme (q ≠ 1) : Sₙ = u₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q)

Exemple — Placement bancaire

Capital initial 1 000 €, taux 2 %/an. Cₙ = 1000 × 1,02ⁿ. Après 10 ans : C₁₀ = 1000 × 1,02¹⁰ ≈ 1 219 €.

4. Sens de variation

Méthode : calcul de uₙ₊₁ − uₙ

Positif → croissante. Négatif → décroissante.
Pour une suite géométrique à termes positifs : si q > 1 → croissante ; 0 < q < 1 → décroissante.

⚠ Signe de la raison

Une suite arithmétique de raison r > 0 est croissante. De raison r < 0, elle est décroissante. Si r = 0, elle est constante.

Exercices

Suite arithmétique : u₁ = 5, r = 4. Calculer u₁₀ et la somme u₁ + … + u₁₀.
Suite géométrique : u₁ = 3, q = 2. Calculer u₆ et la somme u₁ + … + u₆.
On sait que uₙ = 5×3ⁿ − 2. Montrer que (uₙ) n'est pas arithmétique, ni géométrique.
Un capital de 500 € est placé à 3 % annuel. Au bout de combien d'années dépasse-t-il 700 € ?
Montrer que la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ + 4 n'est pas géométrique, puis étudier vₙ = uₙ + 2.
Étudier le sens de variation de uₙ = (2n + 1)/(n + 2).

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