Seconde

Second degré

∧ Chapitre 2⏱ 10 min🎯 Bases lycée

1. Forme développée et discriminant

Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

Discriminant

Δ = b² − 4ac

Racines selon le signe de Δ

Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a).
Δ < 0 : pas de racine réelle.

Exemple

f(x) = x² − 5x + 6. Δ = 25 − 24 = 1 > 0. x₁ = (5−1)/2 = 2, x₂ = (5+1)/2 = 3. Racines : 2 et 3.

2. Forme factorisée

Si Δ ≥ 0

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Relations de Viète (utiles)

x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a

3. Forme canonique

Forme canonique

f(x) = a(x − α)² + β
avec α = −b/(2a) et β = f(α) = −Δ/(4a)

Interprétation graphique

La parabole a un sommet en S(α ; β). Si a > 0, sommet = minimum. Si a < 0, sommet = maximum.

4. Signe du trinôme

Règle du signe

Si Δ > 0 (racines x₁ < x₂) :
f(x) est du signe de a à l'extérieur de [x₁ ; x₂], et du signe de −a entre x₁ et x₂.

Si Δ = 0 : f(x) est du signe de a sauf en x₀ où f = 0.
Si Δ < 0 : f(x) est du signe de a partout.

⚠ Moyen mnémotechnique

"Même signe que a à l'extérieur des racines." Toujours vérifier le signe de a avant de conclure.

Exercices

Résoudre x² − 7x + 10 = 0 par le discriminant.
Résoudre 2x² + 3x + 5 = 0. Conclure.
Mettre f(x) = x² − 4x + 1 sous forme canonique et trouver le sommet.
Étudier le signe de f(x) = −x² + 3x + 4.
Les racines d'un trinôme sont 2 et −3. Son coefficient directeur est 2. Donner sa forme développée.
Résoudre l'inéquation x² − x − 6 ≤ 0.

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