Terminale — Spécialité Maths

Probabilités & Loi normale

🎲 Chapitre 6⏱ 12 min🎯 Bac + Concours

1. Variables aléatoires discrètes

Espérance et variance

E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ) : moyenne théorique.
V(X) = E(X²) − [E(X)]² : mesure de dispersion.
σ(X) = √V(X) : écart-type.

Propriétés

E(aX + b) = a·E(X) + b
V(aX + b) = a²·V(X)

Conditions d'application (schéma de Bernoulli)

n expériences identiques et indépendantes, chacune avec probabilité p de succès. X compte le nombre de succès.

Formules

P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = n·p
V(X) = n·p·(1−p)
σ(X) = √(n·p·(1−p))

Exemple

On lance une pièce 10 fois. X ~ B(10, 0,5). P(X = 4) = C(10,4)·(0,5)⁴·(0,5)⁶ = 210/1024 ≈ 0,205.

Propriétés

Courbe en cloche symétrique autour de μ. Plus σ est grand, plus la courbe est étalée.
La loi N(0, 1) est la loi normale centrée réduite.

Règles des 68-95-99,7 %

P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,68
P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,95
P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997

Standardisation

Si X ~ N(μ, σ²), alors Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1). On utilise la table ou la calculatrice pour lire P(Z ≤ z).

Intervalle de fluctuation au seuil 95 %

Pour X ~ B(n, p) avec n grand :
[p − 1/√n ; p + 1/√n]

Condition d'application : n ≥ 30, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5

Intervalle de confiance à 95 % (pour estimer p)

f̂ = fréquence observée
IC = [f̂ − 1/√n ; f̂ + 1/√n]

X suit une loi B(8, 0,3). Calculer P(X = 2), E(X) et σ(X).
Un QCM comporte 20 questions avec 4 choix chacune. Si on répond au hasard, calculer la probabilité d'avoir exactement 5 bonnes réponses.
X suit N(50, 4²). Calculer P(46 ≤ X ≤ 54) avec la règle des 68 %.
Une usine produit 8 % de pièces défectueuses. On prélève 200 pièces. Donner l'intervalle de fluctuation à 95 %.
Dans un sondage de 500 personnes, 230 sont favorables. Construire l'intervalle de confiance à 95 % pour la proportion réelle.
X et Y sont indépendantes avec E(X) = 3, E(Y) = 5, V(X) = 4, V(Y) = 9. Calculer E(2X − Y + 1) et V(2X − Y).
X ~ B(n, 0,4). Trouver n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,99.
Montrer que pour n grand, X ~ B(n, p) peut être approchée par N(np, np(1−p)).