1. Limites usuelles
2. Formes indéterminées et levée
Les 4 formes indéterminées
+∞ − ∞ · ∞/∞ · 0 × ∞ · 0/0
Techniques de levée
+∞ − ∞ : factoriser par le terme dominant.
∞/∞ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant.
0/0 : factoriser, simplifier ou conjuguer.
0 × ∞ : réécrire en quotient pour se ramener à ∞/∞.
Exemple — Forme ∞/∞
lim (x → +∞) (3x² + 2x)/(x² − 1). On divise par x² : lim (3 + 2/x)/(1 − 1/x²) = 3/1 = 3.
3. Croissances comparées
⚠ Application directe
lim (x → +∞) (x³ + eˣ)/eˣ = lim (x³/eˣ + 1) = 0 + 1 = 1. Ne pas se laisser piérer par le x³.
4. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
TVI
Si f est continue sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c dans ]a ; b[ tel que f(c) = k.
TVI version corollaire (pour démontrer l'existence d'une racine)
Si f est continue sur [a ; b], f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe au moins un c dans ]a ; b[ tel que f(c) = 0.
Exercices types bac
- Calculer lim (x → +∞) (5x³ − 2x + 1).
- Lever la forme indéterminée : lim (x → 1) (x² − 1)/(x − 1).
- Lever la forme indéterminée : lim (x → +∞) (√(x+1) − √x).
- Calculer lim (x → +∞) x²·e^(−x).
- Calculer lim (x → 0⁺) x·ln(x²).
- f(x) = x³ − 3x + 1. Montrer que f s'annule sur [0 ; 1] et donner un encadrement de la racine à 0,1 près.
- Déterminer les asymptotes de f(x) = (2x² + 1)/(x − 1).
- Étudier la continuité de f définie par f(x) = (eˣ − 1)/x pour x ≠ 0 et f(0) = 1.