Terminale — Spécialité Maths

Intégrales

∫ Chapitre 3⏱ 12 min🎯 Bac + Concours

1. Définition et notation

Si F est une primitive de f sur [a ; b], l'intégrale de f entre a et b est :

Définition

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]_a^b

2. Propriétés fondamentales

À connaître

∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx
∫_a^a f(x) dx = 0
∫_a^b (f + g) dx = ∫_a^b f dx + ∫_a^b g dx
∫_a^b k·f dx = k · ∫_a^b f dx
∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx (relation de Chasles)

Positivité

Si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
Si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫_a^b f dx ≤ ∫_a^b g dx.

3. Calcul d'aires

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Si f ≥ 0 sur [a ; b], l'aire sous la courbe vaut ∫_a^b f(x) dx.
Si f change de signe, on découpe l'intervalle et on prend les valeurs absolues de chaque partie.

Aire entre deux courbes

Aire = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

Exemple

Aire entre f(x) = x² et g(x) = x sur [0 ; 1] : ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.

4. Valeur moyenne

Définition

μ = (1/(b−a)) · ∫_a^b f(x) dx

5. Intégration par parties

Formule IPP

∫_a^b u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)]_a^b − ∫_a^b u'(x)·v(x) dx

⚠ Choix de u et v'

Choisir u facile à dériver, v' facile à primitiver. Règle ALPES : Algébrique, Logarithme, Puissance, Exponentielle, Sinus/cosinus — u se choisit dans cet ordre de priorité.

Exemple IPP

∫₀¹ x·eˣ dx. Posons u = x (u' = 1) et v' = eˣ (v = eˣ).
= [x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.

Exercices types bac

Calculer ∫₀² (3x² − 2x + 1) dx.
Calculer ∫₁^e (1/x + x) dx.
Calculer l'aire délimitée par f(x) = x² − 1 et l'axe des abscisses sur [0 ; 2].
Calculer l'aire entre f(x) = x et g(x) = x² sur [0 ; 1].
Par IPP, calculer ∫₁^e ln x dx.
Par IPP, calculer ∫₀^π x·sin x dx.
Calculer la valeur moyenne de f(x) = eˣ sur [0 ; 2].
Déterminer a > 0 tel que ∫₀^a (2x + 1) dx = 12.

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