1. Vecteurs
Définition
Le vecteur AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées.
2. Milieu et distance
3. Colinéarité
Condition de colinéarité
Deux vecteurs u⃗(a ; b) et v⃗(c ; d) sont colinéaires si et seulement si ad − bc = 0.
Application
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
4. Équation de droite
Parallélisme et perpendicularité
Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont parallèles si m₁ = m₂.
Elles sont perpendiculaires si m₁ × m₂ = −1.
Exemple — Équation de droite passant par un point
Droite passant par A(1 ; 3) de pente 2 : y − 3 = 2(x − 1), soit y = 2x + 1.
⚠ Droite verticale
Une droite verticale (x = a) n'a pas de pente. Elle ne peut pas s'écrire sous forme réduite.
Exercices
- A(2 ; −1) et B(−3 ; 4). Calculer AB⃗, le milieu de [AB] et la distance AB.
- Montrer que A(0 ; 0), B(2 ; 1), C(6 ; 3) sont alignés.
- Trouver l'équation de la droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 6).
- Trouver l'équation de la droite passant par P(2 ; 3) et perpendiculaire à y = 3x − 1.
- Résoudre le système pour trouver l'intersection de y = 2x − 1 et y = −x + 5.
- ABCD est un parallélogramme avec A(1 ; 2), B(4 ; 1), C(5 ; 4). Trouver D.