1. Fonction exponentielle
Dérivée et variations
(eˣ)' = eˣ. La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, toujours positive, jamais nulle.
2. Logarithme naturel (ln)
Dérivée et variations
(ln x)' = 1/x sur ]0 ; +∞[. La fonction ln est strictement croissante, définie sur ]0 ; +∞[ uniquement.
3. Résolution d'équations
Méthode
eˣ = eᵃ ⟺ x = a
eˣ = k (k > 0) ⟺ x = ln k
ln x = a ⟺ x = eᵃ
ln x = ln a ⟺ x = a (avec x > 0 et a > 0)
Exemple
Résoudre e^(2x−1) = 5. On prend le ln : 2x − 1 = ln 5, donc x = (1 + ln 5)/2.
⚠ Domaine de ln
Avant de prendre ln(u), vérifier que u > 0. Préciser la condition dans la résolution.
4. Croissances comparées (rappel)
Exercices types bac
- Résoudre : e^(x²−3) = 1.
- Résoudre : ln(2x − 1) = 3. Préciser le domaine.
- Résoudre : e^x − 3e^(−x) = 2. (Poser X = eˣ.)
- Dériver f(x) = x²·ln x et étudier ses variations sur ]0 ; +∞[.
- Étudier f(x) = eˣ/(eˣ + 1). Montrer que f est croissante et a une asymptote.
- Simplifier : ln(e³) − 2·ln(e²) + ln(1/e).
- Calculer lim (x → +∞) (ln x)²/x.
- Résoudre ln x + ln(x+2) = ln 8 (x > 0).