Terminale — Spécialité Maths

Dérivées & Primitives

📉 Chapitre 2⏱ 12 min🎯 Bac + Concours

1. Tableau des dérivées usuelles

À mémoriser absolument

f(x) = k → f'(x) = 0
f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = 1/x → f'(x) = −1/x²
f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ
f(x) = ln x → f'(x) = 1/x
f(x) = sin x → f'(x) = cos x
f(x) = cos x → f'(x) = −sin x

2. Règles de dérivation

Opérations

(u + v)' = u' + v'
(k·u)' = k·u'
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
(u ∘ v)' = v' × u'(v) ← règle de la chaîne

Exemple — Règle de la chaîne

f(x) = e^(3x²). Posons u(x) = 3x², u'(x) = 6x. Alors f'(x) = 6x · e^(3x²).

⚠ Erreur fréquente

Ne pas oublier de multiplier par la dérivée intérieure. (sin(2x))' = 2cos(2x) et non cos(2x).

3. Tableau des primitives usuelles

Primitives (+ constante C)

f(x) = xⁿ (n ≠ −1) → F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1)
f(x) = 1/x → F(x) = ln|x|
f(x) = eˣ → F(x) = eˣ
f(x) = sin x → F(x) = −cos x
f(x) = cos x → F(x) = sin x
f(x) = u'(x)·eᵘ⁽ˣ⁾ → F(x) = eᵘ⁽ˣ⁾
f(x) = u'(x)/u(x) → F(x) = ln|u(x)|

4. Étude de fonction : méthode complète

Étapes à suivre

1. Domaine de définition.
2. Limites aux bornes du domaine.
3. Calcul de f'(x) et résolution de f'(x) = 0.
4. Signe de f'(x) → tableau de variation.
5. Extremums locaux.
6. Points remarquables et tracé.

Exercices types bac

Dériver : f(x) = x³ − 4x² + 7x − 2.
Dériver : g(x) = (2x + 1)/(x − 3). Préciser le domaine.
Dériver : h(x) = e^(x² − 1).
Dériver : k(x) = ln(3x² + 1).
Trouver une primitive de f(x) = 3x² − 2x + 5.
Trouver une primitive de f(x) = (2x)/(x² + 1).
Étudier les variations de f(x) = x·eˣ sur ℝ. En déduire son minimum.
Montrer que f(x) = x − ln x admet un minimum sur ]0; +∞[ et le calculer.

Premier cours d'essai gratuit