Première — Spécialité Maths

Dérivées

📉 Chapitre 2⏱ 10 min🎯 Prépa Terminale

1. Nombre dérivé

Définition

Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d'accroissement quand h → 0 :

Formule

f'(a) = lim (h → 0) [f(a+h) − f(a)] / h

Interprétation géométrique

f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A(a ; f(a)).

Équation de la tangente en x = a

y = f'(a)·(x − a) + f(a)

2. Dérivées usuelles

Tableau

f(x) = c → f'(x) = 0
f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = 1/x → f'(x) = −1/x²

Règles

(u + v)' = u' + v'
(k·u)' = k·u'
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v²

3. Variations et extremums

Lien dérivée — monotonie

Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle.
Si f'(x) < 0 sur un intervalle, f est décroissante.
Si f'(a) = 0 et f' change de signe en a, f admet un extremum en a.

Exemple complet

f(x) = x³ − 3x + 2. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1).
f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et ]1 ; +∞[, f'(x) < 0 sur ]−1 ; 1[.
Maximum local en x = −1 : f(−1) = 4. Minimum local en x = 1 : f(1) = 0.

⚠ f'(a) = 0 ne suffit pas

Si f'(a) = 0 mais f' ne change pas de signe (ex : f(x) = x³ en 0), il n'y a pas d'extremum.

Exercices

Calculer le nombre dérivé de f(x) = x² − 3x en a = 2 par définition.
Donner l'équation de la tangente à f(x) = x³ en x = 1.
Dériver g(x) = (3x − 1)(x² + 2) et dresser son tableau de variations.
Dériver h(x) = (x + 1)/(x − 2) et étudier ses variations.
Dériver k(x) = √(x² + 1) sur ℝ.
f(x) = x³ − 6x² + 9x. Trouver les extremums et tracer la courbe.

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