Première — Spécialité Maths

Nombres complexes

ℂ Chapitre 4⏱ 10 min🎯 Prépa Terminale

1. Forme algébrique

Définition

Un nombre complexe s'écrit z = a + ib où a = Re(z) (partie réelle) et b = Im(z) (partie imaginaire), avec i² = −1.

Opérations

(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)
(a + ib)(c + id) = (ac−bd) + i(ad+bc)
1/(a + ib) = (a − ib)/(a² + b²)

Définition et propriétés

z̄ = a − ib (conjugué de z = a + ib).
z + z̄ = 2a = 2Re(z)
z − z̄ = 2ib = 2i·Im(z)
z·z̄ = a² + b²
(z₁·z₂)‾ = z̄₁·z̄₂ ; (z₁/z₂)‾ = z̄₁/z̄₂

Exemple — Division

(3 + 2i)/(1 − i) = (3 + 2i)(1 + i)/((1−i)(1+i)) = (3 + 3i + 2i − 2)/(1 + 1) = (1 + 5i)/2 = 1/2 + 5i/2.

Définition et propriétés

|z| = √(a² + b²) = √(z·z̄)
|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|
|z̄| = |z|

Formule d'Euler

z = |z|(cos θ + i·sin θ) = |z|·e^(iθ)
θ = arg(z) (argument, défini modulo 2π)
e^(iπ) = −1 (formule d'Euler)

Multiplication en forme trigonométrique

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
arg(z₁·z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) (mod 2π)

Équation du second degré

Si Δ = b² − 4ac < 0, l'équation ax² + bx + c = 0 a deux racines complexes conjuguées :
z₁ = (−b + i√|Δ|)/(2a) et z₂ = (−b − i√|Δ|)/(2a) = z̄₁